Cho (O,R) đường kính AB gọi C là điểm bất kỳ thuộc đường tròn (C≠A,B),trên dây CB lấy điểm i kể IH vuông góc với AB tại H..

A) Ta có:
$\angle AHC = 90^{\circ}$ (do $IH$ vuông góc với $AB$)
$\angle AIC = 180^{\circ} - \angle AHC = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$
Vậy tứ giác $ACIH$ là tứ giác nội tiếp.

B) Ta có:
$\angle BIC = 180^{\circ} - \angle AIC = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$
$\angle BHC = 180^{\circ} - \angle AHC = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$
Vậy tứ giác $BICH$ là tứ giác nội tiếp.

Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác $BICH$, ta có:
$BH \cdot IC + BI \cdot HC = BC \cdot IH$
Vì $IC = HC$ (vì $I$ là trung điểm của $BC$), nên ta có:
$BH \cdot IC + BI \cdot IC = BC \cdot IH$
$IC(BH + BI) = BC \cdot IH$
$BH + BI = \frac{BC \cdot IH}{IC}$
$BH + BI = \frac{BC \cdot IH}{\frac{BC}{2}}$
$BH + BI = 2 \cdot IH$
Vậy $BH \cdot AB = BI \cdot BC$