Cho đường tròn (O; R), điểm A ở ngoài đường tròn

a) Ta có:
- AB là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc BAC = góc BOC (1).
- ACD là cát tuyến, nên góc CAD = góc CDA (2).
- Góc BOC và góc CDA là góc nội tiếp chắn cùng cung BC, nên góc BOC = góc CDA (3).
Từ (1), (2) và (3), ta có góc BAC = góc CAD, suy ra AE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Ta có:
- BM là đường kính của đường tròn (O), nên góc BOM = 90 độ.
- ME // OA, nên góc BEM = góc BAO.
- Dây BE và AO cắt nhau tại H, nên góc BEH = góc BAO.
Từ đó, ta có góc BEM = góc BEH, suy ra BE // EH.
Vậy, AE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Ta có:
- Gọi O là tâm đường tròn (O), nên OB = R.
- Đoạn AO cắt (O) tại I, nên AI là đường phân giác của góc BAO.
- Gọi r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABE, nên AI = r.
- Từ tam giác vuông AOB, ta có:
+ AB^2 = AO^2 - OB^2 = (R + r)^2 - R^2 = r^2 + 2Rr + R^2 - R^2 = r^2 + 2Rr.
+ AM^2 = AB^2 + BM^2 = r^2 + 2Rr + R^2 = r^2 + 2Rr + R^2.
+ EM^2 = AM^2 - AE^2 = r^2 + 2Rr + R^2 - (R + r)^2 = r^2 + 2Rr + R^2 - R^2 - 2Rr - r^2 = 0.
Vậy, EM = 0.