Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 2xy - x^3 - y^3, ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm.

Đặt hàm f(x, y) = 2xy - x^3 - y^3. Ta có:

∂f/∂x = 2y - 3x^2
∂f/∂y = 2x - 3y^2

Điều kiện cần để (x, y) là điểm cực trị của f(x, y) là:

∂f/∂x = 0
∂f/∂y = 0

Từ phương trình x + y = 1, ta có y = 1 - x. Thay vào ∂f/∂x = 0, ta có:

2(1 - x) - 3x^2 = 0
2 - 2x - 3x^2 = 0
3x^2 + 2x - 2 = 0

Giải phương trình trên ta được x ≈ -1.366 hoặc x ≈ 0.488.

Khi x ≈ -1.366, ta có y ≈ 2.366.
Khi x ≈ 0.488, ta có y ≈ 0.512.

Để xác định giá trị lớn nhất của A, ta cần so sánh giá trị của A tại các điểm cực trị và các điểm biên của miền xác định.

Khi (x, y) ≈ (-1.366, 2.366), ta có A ≈ -15.9.
Khi (x, y) ≈ (0.488, 0.512), ta có A ≈ 0.12.
Khi (x, y) ≈ (0, 1), ta có A = 0.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A = 2xy - x^3 - y^3 là 0.