a) Ta có:
- AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), nên OA là đường phân giác góc BAC.
- Gọi I là trung điểm của BC. Khi đó, ta có: AI là đường phân giác góc BAC và AI vuông góc với BC.
- Vì OA là đường phân giác góc BAC và AI vuông góc với BC, nên OA là đường trung trực của BC.

b) Ta có:
- Gọi E là giao điểm của AD và đường tròn (O).
- Vì AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc BAC là góc nhọn.
- Vì OA là đường trung trực của BC, nên góc BAC = góc BCA.
- Vì góc BAC = góc BCA và góc nhọn, nên tam giác ABC là tam giác cân tại A.
- Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên AE là đường phân giác góc BAC.
- Vì AE là đường phân giác góc BAC, nên AE vuông góc với BC.
- Vì AE vuông góc với BC và AD là đường phân giác góc BAC, nên BE vuông góc với AD.

c) Ta có:
- Gọi F là giao điểm của CE và OA.
- Vì OA là đường trung trực của BC, nên góc BCF = góc BFC.
- Vì góc BCF = góc BFC, nên tam giác BCF là tam giác cân tại F.
- Vì tam giác BCF là tam giác cân tại F, nên BF là đường phân giác góc BCF.
- Vì BF là đường phân giác góc BCF, nên BF vuông góc với CF.
- Vì BF vuông góc với CF và BE vuông góc với AD, nên BF và BE là hai đường cao của tam giác ADE.
- Vì BF và BE là hai đường cao của tam giác ADE, nên AF là đường trung trực của EF.
- Vì AF là đường trung trực của EF, nên AF^2 = EF . CF.