a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ. Tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D, nên góc BAD = góc DAC. Vì tam giác ABC vuông tại A nên góc BAC = 90 độ, suy ra góc BAD = góc DAC = 45 độ.

Khi đó, tam giác ABD là tam giác cân tại A, nên BA = BD.

Kẻ DE vuông góc với BC, suy ra tam giác BDE vuông tại E. Vì tam giác ABD là tam giác cân tại A, nên BE là đường phân giác của góc B trong tam giác BDA.

Do đó, BA = BD = BE.

b) Ta đã chứng minh được BA = BE, suy ra DA = DE.

Vậy DA = DE = DC.

c) Kẻ AH vuông góc với BC. Ta cần chứng minh BH < BE < BC.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ.

Gọi I là giao điểm của DE và AH. Ta có tam giác AHI vuông tại I.

Vì góc BAD = góc DAC = 45 độ, nên góc BAI = góc IAC = 45 độ.

Vì góc BAI = góc IAC = 45 độ, nên tam giác ABI cân tại A.

Do đó, BA = BI.

Vì tam giác ABI cân tại A, nên góc BIA = góc BAI = 45 độ.

Vì tam giác AHI vuông tại I, nên góc BIA + góc AIH = 90 độ.

Suy ra góc AIH = 45 độ.

Vậy tam giác AIH là tam giác cân tại A, nên AH = AI.

Vì tam giác ABI cân tại A, nên góc ABI = góc BAI = 45 độ.

Vì tam giác AHI vuông tại I, nên góc AHI = 90 - góc AIH = 90 - 45 = 45 độ.

Suy ra tam giác AHI là tam giác vuông cân tại A, nên AH = AI = HI.

Vậy tam giác AHI là tam giác đều.

Do đó, AH = HI = AI = AB = AC.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ.

Vì tam giác AHI là tam giác đều, nên góc AIH = 60 độ.

Suy ra góc BAC + góc AIH = 90 độ + 60 độ = 150 độ.

Vậy góc BAI = 180 độ - (góc BAC + góc AIH) = 180 độ - 150 độ = 30 độ.

Vì tam giác ABI cân tại A, nên góc ABI = góc BAI = 30 độ.

Vì tam giác AHI là tam giác đều, nên góc AIH = 60 độ.

Suy ra góc ABI + góc AIH = 30 độ + 60 độ = 90 độ.

Vậy tam giác ABI vuông tại B.

Do đó, BH < BE < BC.