Giả sử ΔABC cân tại A có hai đường trung tuyến BM và CN, ta cần chứng minh BM = CN.

Ta có: AC = 2.AM, AB = 2. AN, AB = AC (vì ΔABC cân tại A)

⇒ AM = AN.

Xét ΔABM và ΔACN có:

AM = AN

AB = AC

Góc A chung

⇒ ΔABM = ΔACN (c.g.c) ⇒ BM = CN (hai cạnh tương ứng).

b) Giả sử tam giác ABC có hai trung tuyến CM, BN bằng nhau và cắt nhau tại G.

G là trọng tâm tam giác ABC nên CG = 23CM, BG = 23BN.

Do CM = BN nên CG = BG.

∆BGC có CG = BG nên ∆BGC cân tại G.

Do đó ˆGBC=ˆGCB.

Xét ∆MBC và ∆NCB có:

MC = NB (theo giả thiết).

ˆMCB=ˆNBC (chứng minh trên).

BC chung.

Suy ra ∆MBC = ∆NCB (c-g-c).

Do đó ˆMBC=ˆNCB (2 góc tương ứng).

∆ABC có ˆABC=ˆACB nên ∆ABC cân tại A.

Vậy nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.