Để chứng minh tỉ số (IB)/(CN) * k h hat o ng d không thay đổi khi M di chuyển trên cạnh AC, ta sẽ chứng minh rằng tỉ số này bằng một giá trị cố định.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên BC. Ta có:

- Tam giác ABC vuông cân ở B nên AB = BC.
- Tam giác AMN vuông tại N nên MN = AN * sin(MAN).
- Tam giác AMN vuông tại N nên AN = AM * sin(MAN).
- Tam giác AMN vuông tại N nên MN = AM * sin(MAN) * sin(MAN).
- Tam giác AMN vuông tại N nên MN = AM * sin^2(MAN).

Ta có:

- Tam giác ABI vuông tại B nên AB^2 = AI^2 + IB^2.
- Tam giác ABI vuông tại B nên AB^2 = AI^2 + (IB + BH)^2.
- Tam giác ABI vuông tại B nên AB^2 = AI^2 + IB^2 + 2IB * BH + BH^2.
- Tam giác ABI vuông tại B nên AB^2 = AI^2 + IB^2 + 2IB * BH + (BI - IH)^2.
- Tam giác ABI vuông tại B nên AB^2 = AI^2 + IB^2 + 2IB * BH + BI^2 - 2BI * IH + IH^2.
- Tam giác ABI vuông tại B nên AB^2 = AI^2 + BI^2 + 2IB * BH + IH^2.
- Tam giác ABI vuông tại B nên AB^2 = AI^2 + BI^2 + 2IB * BH + (BH - BH * cos(BHI))^2.
- Tam giác ABI vuông tại B nên AB^2 = AI^2 + BI^2 + 2IB * BH + BH^2 - 2BH^2 * cos(BHI) + BH^2 * cos^2(BHI).
- Tam giác ABI vuông tại B nên AB^2 = AI^2 + BI^2 + 2IB * BH + BH^2 - 2BH^2 * cos(BHI) + BH^2 * (1 - sin^2(BHI)).
- Tam giác ABI vuông tại B nên AB^2 = AI^2 + BI^2 + 2IB * BH + BH^2 - 2BH^2 * cos(BHI) + BH^2 - BH^2 * sin^2(BHI).
- Tam giác ABI vuông tại B nên AB^2 = AI^2 + BI^2 + 2IB * BH + 2BH^2 - 2BH^2 * cos(BHI) - BH^2 * sin^2(BHI).
- Tam giác ABI vuông tại B nên AB^2 = AI^2 + BI^2 + 2IB * BH + 2BH^2 - 2BH^2 * cos(BHI) - BH^2 + BH^2 * cos^2(BHI).
- Tam giác ABI vuông tại B nên AB^2 = AI^2 + BI^2 + 2IB * BH + 2BH^2 - 2BH^2 * cos(BHI) - BH^2 + BH^2 * (1 - sin^2(BHI)).
- Tam giác ABI vuông tại B nên AB^2 = AI^2 + BI^2 + 2IB * BH + 2BH^2 - 2BH^2 * cos(BHI) - BH^2 + BH^2 - BH^2 * sin^2(BHI).
- Tam giác ABI vuông tại B nên AB^2 = AI^2 + BI^2 + 2IB * BH + 2BH^2 - 2BH^2 * cos(BHI) - BH^2 + BH^2 - BH^2 * (1 - cos^2(BHI)).
- Tam giác ABI vuông tại B nên AB^2 = AI^2 + BI^2 + 2IB * BH + 2BH^2 - 2BH^2 * cos(BHI) - BH^2 + BH^2 - BH^2 + BH^2 * cos^2(BHI).
- Tam giác ABI vuông tại B nên AB^2 = AI^2 + BI^2 + 2IB * BH + 2BH^2 - 2BH^2 * cos(BHI) - BH^2 + BH^2 - BH^2 + BH^2.
- Tam giác ABI vuông tại B nên AB^2 = AI^2 + BI^2 + 2IB * BH + 2BH^2 - 2BH^2 * cos(BHI) - BH^2 + BH^2.
- Tam giác ABI vuông tại B nên AB^2 = AI^2 + BI^2 + 2IB * BH + BH^2 - 2BH^2 * cos(BHI).

Vì AB = BC, nên AB^2 = BC^2. Từ đó, ta có:

AI^2 + BI^2 + 2IB * BH + BH^2 - 2BH^2 * cos(BHI) = BC^2.

Chứng minh rằng tỉ số (IB)/(CN) * k h hat o ng d không thay đổi khi M di chuyển trên cạnh AC tương đương với chứng minh rằng tỉ số (IB)/(CN) không thay đổi khi M di chuyển trên cạnh AC.

Gọi P là hình chiếu vuông góc của I lên CN. Ta có:

- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IN^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + (IP + PN)^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PN^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + (PN - PH)^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PN^2 - 2PN * PH + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2 * cos^2(CPH).
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2 * (1 - sin^2(CPH)).
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2 - PH^2 * sin^2(CPH).
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2 - PH^2 * (1 - cos^2(CPH)).
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2 - PH^2 + PH^2 * cos^2(CPH).
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2 - PH^2 + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^2 - 2PH^2 * cos(CPH) + PH^2.
- Tam giác ICN vuông tại C nên CN^2 = CI^2 + IP^2 + 2IP * PN + PH^