Để chứng minh tam giác AKI đồng dạng với tam giác ABC, ta cần chứng minh tỉ số đồng dạng giữa các cặp cạnh tương ứng của hai tam giác.

Ta có:
- Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:
+ \( \angle BAC = 90^\circ \)
+ \( \angle ACH = 90^\circ \) (do AH là đường cao)
+ \( \angle HAI = 90^\circ \) (do HI vuông góc với AB)
+ \( \angle KAH = 90^\circ \) (do HK vuông góc với AC)

Vậy ta có \( \angle BAC = \angle HAI = \angle KAH = 90^\circ \), từ đó suy ra tam giác AKI cũng vuông tại A.

- Ta cũng có:
+ \( \angle A = \angle A \) (góc chung)
+ \( \angle B = \angle H \) (cùng là góc vuông)
+ \( \angle C = \angle K \) (cùng là góc vuông)

Vậy ta có tỉ số đồng dạng giữa các cặp cạnh tương ứng của hai tam giác, từ đó suy ra tam giác AKI đồng dạng với tam giác ABC.