1. Ta có:
$\frac{BN}{BC} = \frac{BN}{BA} \cdot \frac{BA}{BC} = \frac{NE}{ED} \cdot \frac{AE}{EC} = \frac{NE}{ED} \cdot \frac{EM+MA}{EC} = \frac{NE}{ED} \cdot \frac{EM+MC}{EC} = \frac{NE}{ED} \cdot \frac{CM}{EC}$
$\Rightarrow BN = \frac{NE}{ED} \cdot CM$
Tương tự, ta có: $CM = \frac{ME}{EN} \cdot BN$
$\Rightarrow BN \cdot CM = NE \cdot ME = BE \cdot EC = BC^2$
Do đó, $BN \cdot CM = BC^2$
Ta có $\angle BNE = \angle BDE = \angle BDC = \angle BMC$
$\Rightarrow BM \perp CN$
2. Ta có: $AKO = \angle AKC = 180^\circ - \angle BKC = 180^\circ - \angle BNC = \angle BNA = \angle BDA = \angle BDC = \angle BMC = \angle KMC$
$\Rightarrow AKO = \angle KMC$
3. Để chu vi tam giác BKC lớn nhất, ta cần chọn E sao cho $BE = EC$ (tức là E nằm ở giữa B và C).