Từ một điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O; R) vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (O; R), (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của MO và BC. Biết cung BC = 100 độ

a) Ta có:
∠BMC = 180° - ∠BC = 180° - 100° = 80°
Vậy ∠BMC = 80°

Vì MB và MC là tiếp tuyến nên ∠BMO = ∠MCO = 90°
Ta có: ∠BOM + ∠MOC + ∠BOC = 180°
⇒ 90° + 90° + ∠BOC = 180°
⇒ ∠BOC = 180° - 180° = 0°
Vậy BOC = 0°

b) Ta có: ∠BMC = 80°, ∠BMO = ∠MCO = 90°
Vậy tứ giác MBCO là tứ giác nội tiếp.

c) Ta có: ∠BMO = ∠MCO = 90°
Vậy tứ giác OMHB là tứ giác nội tiếp.
Áp dụng định lý Ptolemy trong tứ giác OMHB ta được:
OM.HB + HM.OB = MO.BH
Vì tứ giác MBCO là tứ giác nội tiếp nên OB = OC và BH = BC
⇒ OM.HC + HM.OC = MO.BC
Vì cung BC = 100° nên ∠BMC = 80°
⇒ ∠HMC = 180° - ∠BMC = 180° - 80° = 100°
Vậy tứ giác OMHC là tứ giác nội tiếp.
Áp dụng định lý Ptolemy trong tứ giác OMHC ta được:
OM.HC + HM.OC = MO.CH
Vậy OM.HC + HM.OC = R²
⇒ OM.HC = R² - HM.OC
Vậy CMR: OM.HC = R²