a. Để chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m, ta cần xem xét đẳng thức Δ = b^2 - 4ac của phương trình x^2 - 2mx - 4m - 7 = 0.

Ta có a = 1, b = -2m, c = -4m - 7. Thay vào công thức Δ = b^2 - 4ac, ta có:
Δ = (-2m)^2 - 4*1*(-4m - 7) = 4m^2 + 16m + 28 > 0 với mọi m.

Vì Δ > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b. Để tìm m sao cho (1 - x1^2)(x2^2 - 1) đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của tích (1 - x^2)(x^2 - 1) với x là nghiệm của phương trình đã cho.

Ta có (1 - x^2)(x^2 - 1) = x^4 - x^2 - x^2 + 1 = x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2 - 1)^2.

Với x là nghiệm của phương trình đã cho, ta có x^2 - 2mx - 4m - 7 = 0. Gọi x1 và x2 lần lượt là 2 nghiệm của phương trình này.

Ta có x1^2 - 2mx1 - 4m - 7 = 0 và x2^2 - 2mx2 - 4m - 7 = 0.

Như vậy, (1 - x1^2)(x2^2 - 1) = (x1^2 - 1)(x2^2 - 1) = ((2m + 4m + 7) - 1)((2m + 4m + 7) - 1) = (6m + 6)^2.

Để tích này đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của (6m + 6)^2, tức là tìm giá trị lớn nhất của 6m + 6.

Vì Δ > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m, từ đó ta suy ra 6m + 6 đạt giá trị lớn nhất khi m = -1.

Vậy m = -1 là giá trị cần tìm để (1 - x1^2)(x2^2 - 1) đạt giá trị lớn nhất.