Để chứng minh các điều cần chứng minh, ta sẽ sử dụng các định lý trong hình học Euclid.

a) Chứng minh bốn điểm C, P, K, B cùng thuộc một đường tròn:

Ta có IC là đường kính của đường tròn nội tiếp (O) của tam giác ICK, nên góc IKC = 90 độ. Do đó, ta có góc PKC = 90 độ (vì PKC là góc nội tiếp ở tâm tròn (O)).

Tương tự, ta có góc PBC = 90 độ (vì PBC là góc nội tiếp ở tâm tròn (O)).

Vậy ta có tứ giác CPKB nội tiếp trong đường tròn (O), nên bốn điểm C, P, K, B cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh AI.BK = AC.CB:

Do tam giác AIK và tam giác CIB đồng dạng (cùng có góc vuông tại I), nên ta có:

\[\frac{AI}{CI} = \frac{IK}{CB}\]

Do đó, ta có \(AI \times CB = CI \times IK\).

Do tam giác ACI và tam giác BCK đồng dạng (cùng có góc vuông tại C), nên ta có:

\[\frac{AC}{BC} = \frac{CI}{CK}\]

Do đó, ta có \(AC \times CB = CI \times CK\).

Kết hợp hai phương trình trên, ta có:

\[AI \times BK = CI \times IK = AC \times CB\]

Vậy ta đã chứng minh được \(AI \times BK = AC \times CB\).

c) Chứng minh tam giác APB vuông:

Do bốn điểm C, P, K, B cùng thuộc một đường tròn, nên ta có góc CPB = góc CKB (cùng nằm trên cùng một cung).

Do \(AI \times BK = AC \times CB\), nên ta có tam giác ACB và tam giác AKB đồng dạng (theo định lý nội tiếp).

Do đó, góc ACB = góc AKB.

Vậy ta có góc APB = góc CPB + góc ACB = góc CKB + góc AKB = 90 độ.

Vậy ta đã chứng minh được tam giác APB là tam giác vuông.