Để chứng minh các điều cần chứng minh, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và đường tròn:

a) Ta có: $\angle AHD = \angle ACD$ (do AB//CD) và $\angle AHE = \angle ABE$ (do AB//CE)
$\Rightarrow \angle AHD = \angle AHE$
$\Rightarrow \angle AHD = \angle AHE = 90^\circ$
$\Rightarrow CD = CE$

b) Ta có: $\angle BHD = \angle BCD$ và $\angle BHD = \angle BEC$
$\Rightarrow \angle BCD = \angle BEC$
$\Rightarrow \angle BCD = \angle CEB$
$\Rightarrow \angle BCD = \angle ECB$
$\Rightarrow \angle BHD = \angle ECH$
$\Rightarrow \angle BHD = \angle ECH = 90^\circ$
$\Rightarrow \Delta BHD$ cân

c) Ta có: $\angle CHD = \angle CAD$ và $\angle CED = \angle CAB$
$\Rightarrow \angle CHD = \angle CED$
$\Rightarrow \angle CHD = \angle CED = 90^\circ$
$\Rightarrow CD = CH$

d) Gọi M là giao điểm của AD và BC. Ta có: $\angle MCD = \angle MBD$ (do AB//CD) và $\angle MCD = \angle MCE$ (do CD=CE)
$\Rightarrow \angle MBD = \angle MCE$
$\Rightarrow \angle MBD = \angle MEC$
$\Rightarrow \Delta BDM = \Delta CEM$ (cùng có góc và cạnh bằng nhau)
$\Rightarrow BD = CE$
$\Rightarrow BD = CE = CM$
$\Rightarrow BDMC$ là hình thang cân

e) Gọi F là giao điểm của CH và (O). Ta có: $\angle FHD = \angle FCD$ và $\angle FHD = \angle FED$
$\Rightarrow \angle FCD = \angle FED$
$\Rightarrow \angle FCD = \angle FED = 90^\circ$
$\Rightarrow H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $DEF$

Vậy ta đã chứng minh được các điều cần chứng minh.