Cho tg ABC cân tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC tại N. Tia phân giác của góc C cắt AB tại M

a) Ta có:
$\angle BAM = \angle CAM$ (vì tam giác ABC cân tại A)
$\angle ABN = \angle ACN$ (vì BN là tia phân giác của góc BAC)
$\angle BAM = \angle ABN$ (vì AM song song BN)
$\angle CAM = \angle ACN$ (vì CM song song CN)

Do đó, tam giác ABN và tam giác ACM đồng dạng, từ đó suy ra $\frac{AB}{AC} = \frac{BN}{CM}$ hay $BN = CM$.

b) Ta có:
$\angle OBM = \angle ABN$ (vì OB song song AM)
$\angle OCN = \angle ACM$ (vì OC song song CM)

Do đó, $\angle OBM = \angle OCN$ và từ phần a) suy ra $BN = CM$, nên tam giác OBM và OCN đồng dạng. Từ đó, ta có $tg\angle OBM = tg\angle OCN$ và $MN$ song song $BC$.

c) Ta có:
$\angle BAO = \angle BAM$ (vì AO là tia phân giác của góc BAC)
$\angle CAM = \angle CAO$ (vì AO là tia phân giác của góc BAC)

Do đó, tam giác BAO và tam giác CAO đồng dạng, từ đó suy ra $\frac{BA}{CA} = \frac{BO}{CO}$ hay $BO = CO$. Vậy, điểm O là trung điểm của BC.