Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

a) Ta có: $\angle CMA = \angle CBA = 90^\circ$ (do $CM$ vuông góc $AB$ tại $A$) và $\angle CDA = \angle CBA = 90^\circ$ (do $CD$ vuông góc $AB$ tại $B$). Vậy $A, C, M, D$ thuộc 1 đường tròn.

b) Ta có: $\angle BIM = \angle BAM = \angle CAM = \angle CBI$ (do tam giác $ABM$ cùng nội tiếp với tam giác $ABC$). Vậy $BI$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $DIM$.

c) Gọi $H$ là giao điểm của $AD$ và $BC$. Khi đó, ta có $AH = HD$ (do $K$ là trung điểm $CI$) và $BH = HC$ (do $C$ là trung điểm $OA$). Áp dụng định lý Ptolemy trong tứ giác $ABCD$, ta có:
$$AB \cdot CD = AC \cdot BD + AD \cdot BC$$
$$\Rightarrow R \cdot 2R = R \cdot BD + R \cdot 2R$$
$$\Rightarrow BD = R$$
Do đó, diện tích tam giác $ABD$ là:
$$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot R = R^2$$

d) Ta có thể chứng minh bằng cách sử dụng định lí Menelaus trong tam giác $ACI$ với đường thẳng $KND$:
$$\frac{AK}{KC} \cdot \frac{CN}{NI} \cdot \frac{ID}{DA} = 1$$
$$\Rightarrow \frac{AK}{KC} = \frac{DA}{ID} = 2$$
Do đó, khi $K$ di chuyển trên đoạn $CI$, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AKD$ sẽ nằm trên đường thẳng cố định.

Hy vọng phần giải đáp trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán này. Nếu cần thêm sự giúp đỡ, đừng ngần ngại để lại câu hỏi. Cảm ơn bạn đã đọc!