Để giải bài toán này, trước hết chúng ta sẽ rút gọn biểu thức \( A \):

\[
A = \frac{\frac{x+9}{x+4} - \frac{x}{x-4}}{\frac{x-5}{x^2 - 16}}
\]


\[
A = \frac{(x + 9)(x - 4) - x(x + 4)}{(x - 5)(x + 4)(x - 4)}
\]

\[
= \frac{x^2 + 5x - 36 - x^2 - 4x}{(x - 5)(x + 4)(x - 4)}
\]

\[
= \frac{x - 36}{(x - 5)(x + 4)}
\]

Vậy ta đã chứng minh được \( A = \frac{x - 36}{x - 5} \), do đó câu trả lời là a).

Tiếp theo, để tính giá trị của \(
Để tính giá trị của \( A \) khi \( |x - 1| = 3 \), ta sẽ thay \( x \) bằng \( 1 + 3 = 4 \) và \( x = 1 - 3 = -2 \) vào \( A \) và tính toán giá trị tương ứng.

1. Với \( x = 4 \), ta có:
\[ A = \frac{4 - 36}{4 - 5} = \frac{-32}{-1} = 32 \]

2. Với \( x = -2 \), ta có:
\[ A = \frac{-2 - 36}{-2 - 5} = \frac{-38}{-7} = \frac{38}{7} \]

Vậy giá trị của \( A \) khi \( |x - 1| = 3 \) là \( 32 \) hoặc \( \frac{38}{7} \).