Cho đường tròn tâm O, bán kính R và hai điểm B,C cố định trên (O), BC = R

1. Ta có ABK = 90° (vì BK vuông góc với AC), KQP = 90° (vì PQ vuông góc với BC).
Ta có ABK = KQP vì cùng chứng minh được ABK = KQP = 90°.
Ta có MB/MC = sin(MCB)/sin(MBC) = sin(ABC)/sin(ACB) = AB/AC = DB/DC (vì tam giác ABC và tam giác ADC đồng dạng).
Vậy ta có MB/MC = (DB/DC)^2.

2. Khi A đối xứng với C qua O, ta có AC = AB, nên tam giác ABC là tam giác cân tại A.
Khi đó, ta có AM = MC = R, và tam giác AMC là tam giác đều.
Diện tích tứ giác AMDO là diện tích hình vuông AMCD, ta có diện tích hình vuông AMCD = AM^2 = R^2.

3. Ta có EI = EB, nên tam giác EIB là tam giác cân tại I.
Khi đó, ta có ∠EIB = ∠EBI = 90°/2 = 45°.
Vì tam giác EIB là tam giác cân, nên ta có EI = IB = EB.
Ta có ∠ELB = 90° (vì BL vuông góc với LE), và ∠ELF = 90° (vì LF vuông góc với LC).
Vậy ta có ELBF là hình chữ nhật, nên BF = EL.
Để BF lớn nhất, ta cần A nằm trên cung lớn BC của đường tròn (O) và AB = AC.