Cho đoạn thẳng AB và một điểm M bất kì trên đoạn thẳng đó ( M khác A và B)

a) Ta có AMCD và BMEF là hai hình vuông nên AM = MC và BM = ME. Do đó, ta có AM = MC = BM = ME.
Vậy E là trực tâm của tam giác ABC.
Do đó, ta có BC vuông góc với AE.

b) Ta có E là trực tâm của tam giác ABC nên theo định lí trực tâm, ta có DN là đường cao của tam giác ABC.
Vậy D, N, F thẳng hàng.

c) Ta có AP là đường cao của tam giác ABC nên AP = AC.sin(BAC) và AK = AC.sin(ABC).
Tương tự, ta có CK = BC.sin(ABC) và CP = BC.sin(BAC).
Do đó, AP.CK = AC.BC.sin(BAC).sin(ABC) và AK.CP = AC.BC.sin(BAC).sin(ABC).
Vậy AP.CK = AK.CP.

d) Để đoạn thẳng MN có độ dài lớn nhất, ta cần chọn M sao cho MN vuông góc với AB và M nằm giữa A và B.
Vậy M là trung điểm của AB.