Để chứng minh các phần a, b, c, ta cần vẽ hình như sau:

- Vẽ tam giác ABC nội tiếp (O;R) có hai đường cao BN và CK cắt nhau tại H.
- Vẽ đường kính AD của (O) và giao điểm của OA và NK là I.
- Vẽ hình chiếu của H lên NK và MK lần lượt là E và F.
- Kẻ đường thẳng EF cắt AM tại P.

a) Chứng minh: Tứ giác BKNC nội tiếp đường tròn và AH vuông góc với BC tại M.

Ta có:
- Góc BNC = 180° - góc BAC (do BKNC nội tiếp)
- Góc BAC = góc BHC (do BN và CK là hai đường cao của tam giác ABC)
- Góc BHC = 90° (do BN và CK là hai đường cao của tam giác ABC)

Vậy ta có góc BNC = 180° - 90° = 90°, suy ra tứ giác BKNC nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh: AO vuông góc NK và AHI = ADM.

Ta có:
- Góc AHI = góc AHB (do AH là đường cao của tam giác ABC)
- Góc AHB = góc ACB (do AB // HK)
- Góc ACB = góc ADB (cùng chắn cung AD trên đường tròn (O))
- Góc ADB = góc ADM (do AD là đường kính của (O))

Vậy ta có góc AHI = góc ADM, suy ra AHI = ADM.

c) Chứng minh: PN // BC.

Ta có:
- Góc EHF = 180° - góc EHB - góc FHC = 180° - góc AHB - góc AHC = 180° - góc ACB - góc ABC = 180° - 90° - (180° - 2góc ABC) = 90° - 2góc ABC
- Góc EAF = góc EHF (do EF // BC)
- Góc EAF = 90° - 2góc ABC

Vậy ta có góc EAF = 90° - 2góc ABC, suy ra PN // BC.

Như vậy, ta đã chứng minh được các phần a, b, c.