Cho (O) đường kính BC. Trên tia đối của tia BC lấy A ( A khác B), từ A kẻ các tiếp tuyến AD,AE(D,E là tiếp điểm). Kẻ DH vuông góc với EC tại H, P là trung điểm của DH,Q là giao điểm của CP với (O) ( O khác C). Gọi I là giao điểm của AC và DE..

Để chứng minh a), ta sẽ chứng minh 4 điểm Q,D,P,I cùng thuộc một đường tròn.

Đầu tiên, ta có DH // AE (do cùng vuông góc với EC), từ đó suy ra $\angle DHE = \angle AED = \angle ADE = \angle DCE$.

Do đó, tam giác DHE và tam giác DCE đồng dạng, từ đó suy ra $\angle DHC = \angle DCE = \angle DAE = \angle DAI$.

Vậy ta có tứ giác DHAI nội tiếp trong một đường tròn, từ đó suy ra $\angle DPI = \angle DHI = \angle DAI = \angle DEI = \angle IED = \angle IPD$.

Do đó, 4 điểm Q,D,P,I cùng thuộc một đường tròn.

Để chứng minh b), ta sẽ chứng minh 4 điểm Q,I,E,A cùng thuộc một đường tròn.

Do tam giác ADE vuông tại E, ta có $\angle AED = 90^\circ$.

Do tam giác AQC cũng vuông tại C, ta có $\angle AQC = 90^\circ$.

Vậy ta có tứ giác AQCE nội tiếp trong một đường tròn, từ đó suy ra $\angle AQE = \angle ACE = \angle ADE = \angle AIE$.

Do đó, 4 điểm Q,I,E,A cùng thuộc một đường tròn.

Để chứng minh c), ta sẽ chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD.

Do tam giác AQD và tam giác AQC đồng dạng (cùng có góc vuông tại Q), ta có $\angle AQD = \angle AQC$.

Do đó, tam giác AQD và tam giác AQC cùng có cặp góc bù, từ đó suy ra AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD.

Vậy ta đã chứng minh được c).