Để chứng minh rằng phương trình x^2 - 2(m-2)x + 2m - 5 = 0 có nghiệm với mọi giá trị của m, ta cần chứng minh rằng định thức của phương trình luôn lớn hơn hoặc bằng 0.

Định thức của phương trình là D = (m-2)^2 - 4(2m-5) = m^2 - 4m + 4 - 8m + 20 = m^2 - 12m + 24.

Để chứng minh rằng D luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi giá trị của m, ta cần chứng minh rằng đa thức m^2 - 12m + 24 không có nghiệm.

Đa thức trên có hệ số a = 1 > 0, nên nó là một đa thức bậc 2 mở lên. Để chứng minh rằng nó không có nghiệm, ta cần chứng minh rằng nó không có điểm cực trị.

Đạo hàm của đa thức trên là f'(m) = 2m - 12.

Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình f'(m) = 0: 2m - 12 = 0 => m = 6.

Với m = 6, ta có f(6) = 6^2 - 12*6 + 24 = 36 - 72 + 24 = -12 < 0.

Vậy đa thức m^2 - 12m + 24 không có nghiệm, từ đó suy ra phương trình x^2 - 2(m-2)x + 2m - 5 = 0 có nghiệm với mọi giá trị của m.