Đặt chiều dài của hình hộp chữ nhật là L, chiều rộng là W và chiều cao là H.

Ta có:
- Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật: 2(LW + LH + WH) = 420 cm²
- Chiều cao: H = 7 cm
- Chiều rộng bằng 2/3 chiều dài: W = 2L/3

Thay các giá trị vào công thức diện tích xung quanh, ta được:
2(L(2L/3) + 7L + 2L/3*7) = 420
2(2L²/3 + 7L + 14L/3) = 420
4L²/3 + 14L + 28L/3 = 420
4L² + 42L + 28L = 1260
4L² + 70L - 1260 = 0

Giải phương trình trên ta được L = 15 cm hoặc L = -21 cm. Vì chiều dài không thể âm nên ta chọn L = 15 cm.

Sau đó, tính thể tích của hình hộp chữ nhật:
V = L*W*H = 15*(2*15/3)*7 = 15*10*7 = 1050 cm³

Vậy thể tích của hình hộp chữ nhật đó là 1050 cm³.