Để tính được thể tích của hình hộp chữ nhật, ta cần biết diện tích xung quanh và chiều cao của hình hộp chữ nhật.

Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật được tính bằng công thức:
S = 2(Chiều dài x Chiều cao + Chiều rộng x Chiều cao)

Với S = 420 cm² và Chiều cao = 7 cm, ta có:
420 = 2(Chiều dài x 7 + (2/3)Chiều dài x 7)
420 = 14Chiều dài + 14(2/3)Chiều dài
420 = 14Chiều dài + 28/3Chiều dài
420 = 42/3Chiều dài + 28/3Chiều dài
420 = 70/3Chiều dài
Chiều dài = 420 x 3 / 70
Chiều dài = 18 cm

Vậy chiều rộng của hình hộp chữ nhật là:
Chiều rộng = (2/3) x 18 = 12 cm

Thể tích của hình hộp chữ nhật được tính bằng công thức:
V = Chiều dài x Chiều rộng x Chiều cao
V = 18 x 12 x 7
V = 1512 cm³

Vậy thể tích của hình hộp chữ nhật đó là 1512 cm³.