a. Ta có:
$\angle BAC = 90^\circ - \angle ABC = \angle ACH$
$\angle ACB = 90^\circ - \angle ABC = \angle AHC$
Vậy tam giác ABC đồng dạng với tam giác HAC.

b. Ta có:
$AH^2 = AB^2 - HB^2$
$AH^2 = AC^2 - HC^2$
$AH^2 = (AC + HC)(AC - HC)$
$AH^2 = AC \cdot CH$
$AH^2 = HB \cdot HC$

c. Ta có:
$AC = 10cm, CH = 8cm$
Từ b, ta có: $AH^2 = HB \cdot HC = 10 \cdot 8 = 80$
$AH = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} cm$
Diện tích tam giác ABC:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4\sqrt{5} = 20\sqrt{5} cm^2$

d. Ta có:
$P$ là trung điểm của $AH$, $Q$ là trung điểm của $CH$
$M$ là giao điểm của $AQ$ và $BP$
Khi đó, ta có $AP = PH, CQ = QH$
Vậy $AQ \parallel BP$ và $AQ = 2PM, BP = 2PB$
Do đó, ta có: $AH^2 = 4PM \cdot PB$