Để chứng minh \( S_{n} = x_{1}^{n} + x_{2}^{n} + x_{3}^{n} \) là số nguyên với mọi \( n \) nguyên dương, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp.

Bước cơ sở: Khi \( n = 1 \), ta có \( S_{1} = x_{1} + x_{2} + x_{3} \).

Theo định lý Viète cho phương trình bậc ba \( x^{3} - 4x^{2} + 2x + 4 = 0 \), tổng của các nghiệm \( x_{1}, x_{2}, x_{3} \) bằng hệ số của \( x^{2} \) với dấu đổi lại, tức là \( S_{1} = 4 \), là một số nguyên.

Bước quy nạp: Giả sử \( S_{k} = x_{1}^{k} + x_{2}^{k} + x_{3}^{k} \) là số nguyên với mọi \( k \leq n \). Ta cần chứng minh rằng \( S_{n+1} = x_{1}^{n+1} + x_{2}^{n+1} + x_{3}^{n+1} \) cũng là số nguyên.

Ta biết rằng các nghiệm \( x_{1}, x_{2}, x_{3} \) của phương trình \( x^{3} - 4x^{2} + 2x + 4 = 0 \) thỏa mãn:
\[ x^{3} = 4x^{2} - 2x - 4 \]
Do đó, ta có thể viết:
\[ x_{i}^{3} = 4x_{i}^{2} - 2x_{i} - 4 \quad \text{với} \quad i = 1, 2, 3 \]
Từ đó, áp dụng cho \( n + 1 \), ta có:
\[ x_{i}^{n+1} = x_{i}^{n-2} \cdot x_{i}^{3} = x_{i}^{n-2} (4x_{i}^{2} - 2x_{i} - 4) \]
\[ = 4x_{i}^{n} - 2x_{i}^{n-1} - 4x_{i}^{n-2} \]
Do đó, \( S_{n+1} = 4S_{n} - 2S_{n-1} - 4S_{n-2} \).

Vì \( S_{n}, S_{n-1}, \) và \( S_{n-2} \) đều là số nguyên theo giả thiết quy nạp, ta kết luận \( S_{n+1} \) cũng là số nguyên.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được \( S_{n} = x_{1}^{n} + x_{2}^{n} + x_{3}^{n} \) là số nguyên với mọi \( n \) nguyên dương.
xin like + điểm ak