Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Chứng minh rằng S là số nguyên với mọi n nguyên dương

----- Nội dung dịch tự động từ ảnh -----
a) Giả sử X, X, X, là ba nghiệm của phương trình x –4x^ +2x+4=0.
Đặt Sn =x" +x} +X}. Chứng minh rằng S là số nguyên với mọi n nguyên dương.
1 trả lời
Hỏi chi tiết
24
0
0
Minh Hòa
01/03 20:39:37
+5đ tặng
Để chứng minh \( S_{n} = x_{1}^{n} + x_{2}^{n} + x_{3}^{n} \) là số nguyên với mọi \( n \) nguyên dương, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp.

Bước cơ sở: Khi \( n = 1 \), ta có \( S_{1} = x_{1} + x_{2} + x_{3} \).

Theo định lý Viète cho phương trình bậc ba \( x^{3} - 4x^{2} + 2x + 4 = 0 \), tổng của các nghiệm \( x_{1}, x_{2}, x_{3} \) bằng hệ số của \( x^{2} \) với dấu đổi lại, tức là \( S_{1} = 4 \), là một số nguyên.

Bước quy nạp: Giả sử \( S_{k} = x_{1}^{k} + x_{2}^{k} + x_{3}^{k} \) là số nguyên với mọi \( k \leq n \). Ta cần chứng minh rằng \( S_{n+1} = x_{1}^{n+1} + x_{2}^{n+1} + x_{3}^{n+1} \) cũng là số nguyên.

Ta biết rằng các nghiệm \( x_{1}, x_{2}, x_{3} \) của phương trình \( x^{3} - 4x^{2} + 2x + 4 = 0 \) thỏa mãn:
\[ x^{3} = 4x^{2} - 2x - 4 \]
Do đó, ta có thể viết:
\[ x_{i}^{3} = 4x_{i}^{2} - 2x_{i} - 4 \quad \text{với} \quad i = 1, 2, 3 \]
Từ đó, áp dụng cho \( n + 1 \), ta có:
\[ x_{i}^{n+1} = x_{i}^{n-2} \cdot x_{i}^{3} = x_{i}^{n-2} (4x_{i}^{2} - 2x_{i} - 4) \]
\[ = 4x_{i}^{n} - 2x_{i}^{n-1} - 4x_{i}^{n-2} \]
Do đó, \( S_{n+1} = 4S_{n} - 2S_{n-1} - 4S_{n-2} \).

Vì \( S_{n}, S_{n-1}, \) và \( S_{n-2} \) đều là số nguyên theo giả thiết quy nạp, ta kết luận \( S_{n+1} \) cũng là số nguyên.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được \( S_{n} = x_{1}^{n} + x_{2}^{n} + x_{3}^{n} \) là số nguyên với mọi \( n \) nguyên dương.
xin like + điểm ak

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Trắc nghiệm Toán học Lớp 9 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư