Cho hình thang ABCD có đáy bé AB = 2/3 đáy lớn DC. AC và BD cắt nhau tại I

a. Ta có các cặp tam giác có diện tích bằng nhau là:
- Tam giác ABD và tam giác ACD
- Tam giác AIB và tam giác CID

b. Gọi H là hình chiếu từ I xuống AB, ta có:
Diện tích tam giác ABD = 1/2 * AB * HD = 1/2 * AB * (AC - AH)
Diện tích tam giác ACD = 1/2 * DC * HC = 1/2 * DC * (BD - BH)

Vì AB = 2/3 DC, nên ta có: AB/DC = 2/3
=> DC = 3/2 AB

Diện tích tam giác ABD = 1/2 * AB * (AC - AH) = 1/2 * AB * (AC - AB/3) = 1/2 * AB * (2/3 AB) = 1/3 AB^2
Diện tích tam giác ACD = 1/2 * DC * (BD - BH) = 1/2 * (3/2 AB) * (2/3 AB) = 1/3 AB^2

Vậy tỉ số diện tích tam giác ABD và ACD là 1:1.

c. Gọi H là hình chiếu từ I xuống AB, ta có:
Diện tích tam giác ACD = 1/2 * DC * HC = 1/2 * DC * (BD - BH)
Diện tích tam giác ACD = 1/2 * (3/2 AB) * (2/3 AB) = 1/3 AB^2

Vì diện tích tam giác ACD = 108 cm^2, ta có:
1/3 AB^2 = 108
AB^2 = 324
AB = 18 cm

Vậy diện tích hình thang ABCD là:
Diện tích hình thang ABCD = 1/2 * (AB + DC) * AC = 1/2 * (18 + 27) * 36 = 810 cm^2.