Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sử dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC nhọn:

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường cao AD, ta có:

$\frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} = 1$

Tương tự, áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường cao BE, ta có:

$\frac{AF}{FC} \cdot \frac{CD}{BD} \cdot \frac{BE}{EA} = 1$

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường cao CF, ta có:

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EB} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$

Nhân cả ba phương trình trên với nhau, ta được:

$\frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{AF}{FC} \cdot \frac{CD}{BD} \cdot \frac{BE}{EA} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EB} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$

Simplifying, we get:

$\frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FC} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{BE}{EA} \cdot \frac{CE}{EB} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$

$\Rightarrow \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FC} \cdot \frac{BD}{DC} = 1$

$\Rightarrow CE \cdot AF \cdot BD = EA \cdot FC \cdot DC$

Similarly, we can prove that $EA \cdot FB \cdot CD = EB \cdot FC \cdot DC$ and $EB \cdot FC \cdot AD = FC \cdot BD \cdot EA$.

Multiplying all three equations together, we get:

$CE \cdot AF \cdot BD \cdot EA \cdot FB \cdot CD \cdot EB \cdot FC \cdot AD = EA \cdot FC \cdot DC \cdot EB \cdot FC \cdot DC \cdot FC \cdot BD \cdot EA$

$\Rightarrow CE \cdot AF \cdot BD \cdot EA \cdot FB \cdot CD = EA \cdot FB \cdot CD \cdot EB \cdot FC \cdot DC \cdot FC \cdot BD \cdot EA$

$\Rightarrow AE \cdot BF \cdot CD = AF \cdot BD \cdot CE = DE \cdot EF \cdot FD$

Vậy ta đã chứng minh được rằng $AE \cdot BF \cdot CD = AF \cdot BD \cdot CE = DE \cdot EF \cdot FD$.