Giải:

a) Ta có BM // CN (do là đường trung tuyến của tam giác ABC), suy ra theo định lí Thales ta có:

$$\frac{GD}{GB} = \frac{GM}{GN} = \frac{GC}{GN}$$

$$\Rightarrow GD = \frac{1}{2}GB, GE = \frac{1}{2}GC$$

Do đó, DE song song với MN và cũng bằng một nửa MN (do D, E lần lượt là trung điểm của GB, GC).

b) Tứ giác MNDE là hình bình hành vì MN // DE và MN = DE (do D, E lần lượt là trung điểm của GB, GC).

c) Để tứ giác MNDE là hình chữ nhật, ta cần điều kiện là MNDE là hình bình hành và các góc của nó bằng 90 độ. Tức là MN // DE và MN = DE, cũng như các góc của tứ giác MNDE bằng 90 độ.

Do đó, ta cần điều kiện là tam giác ABC là tam giác vuông.