Cho tam giác ABC vuông tại A, có BD là tia phân giác của góc ABC. Lấy điểm E thuộc đoạn BC

1) Ta có:
$\angle ABD = \angle EBD$ (vì $BD$ là tia phân giác của $\angle ABC$)
$\angle ABD = \angle A$ (vì tam giác $ABD$ vuông tại $A$)
$\angle EBD = \angle B$ (vì tam giác $EBD$ vuông tại $E$)
Vậy ta có $\angle A = \angle B$, suy ra tam giác $ABC$ là tam giác cân tại $A$.

2) Ta có:
$\angle DEC = \angle ABD + \angle EBD = \angle A + \angle B = 90^\circ$ (vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$)
Vậy tam giác $DEC$ là tam giác vuông tại $D$.

3) Ta có:
$\angle BAF = \angle BAC + \angle CAD + \angle DAF = \angle BAC + \angle CAD + \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD + \angle B = 90^\circ$ (vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$)
$\angle CED = \angle CAD + \angle ADE = \angle CAD + \angle BAD = \angle CAD + \angle B = 90^\circ$ (vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$)
Vậy ta có $AF \perp CE$, suy ra $AF = CE$.

4) Để tam giác $BCG$ đều, ta cần tam giác $ABC$ là tam giác đều.

Vậy điều kiện của tam giác $ABC$ để tam giác $BCG$ đều là tam giác $ABC$ là tam giác đều và cân tại $A$.