Hãy tìm giá trị lớn nhất của A = 5/2.căn 2x+1 + 3 với x lớn hơn -1/2

Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số A = 5/2√(2x+1) + 3.

Đặt y = 2x + 1, ta có A = 5/2√y + 3.

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của A khi x lớn hơn -1/2, tương đương với y > 1.

Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM (bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân).

AM-GM: Đối với các số dương a và b, ta có a + b ≥ 2√(ab), với dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Áp dụng AM-GM cho 5/2√y và 3, ta có:

5/2√y + 3 ≥ 2√(5/2√y * 3) = 2√(15/2√y) = 2√(15/y).

Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần tìm giá trị lớn nhất của 2√(15/y) khi y > 1.

Đạo hàm của hàm số f(y) = 2√(15/y) là:

f'(y) = -15/(2y^(3/2)).

Để tìm cực trị của f(y), giải phương trình f'(y) = 0:

-15/(2y^(3/2)) = 0
⇒ y = 0.

Tuy nhiên, y > 1 nên ta không cần xét y = 0.

Vậy giá trị lớn nhất của A là 2√(15/y) = 2√15 khi y = 1.

Do đó, giá trị lớn nhất của A là 2√15.