a) Ta có:
- Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), nên theo tính chất của tam giác nội tiếp, ta có tứ giác BCDE nội tiếp.
- Gọi I là giao điểm của BD và CE. Ta có: BD là đường cao của tam giác ABC nên AI vuông góc với BC, CE là đường cao của tam giác ABC nên AI vuông góc với AC. Do đó, AI là đường cao của tam giác ABC nên đi qua trung điểm M của AB. Tương tự, AI cũng đi qua trung điểm N của AC. Vậy tứ giác AMON nội tiếp.

b) Ta có:
- Theo định lí Ptolemy, ta có: BC.MN = BM.CN + CM.BN.
- Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC, nên BM = AM và CN = AN.
- Do đó, BC.MN = AM.CN + AN.CM = AM.AN.
- Từ đây suy ra: BC.MN = AM.AN.
- Ta có: BC = AE (vì BC là đường cao của tam giác ABE), nên AE.MN = AM.AN.
- Vậy, ta có AE.AM = AD.AN.

c) Ta có:
- Vì tứ giác BCDE nội tiếp, nên theo định lí Pappus, ta có điểm K thuộc MN.
- Gọi F' là giao điểm của AK và MN. Ta có: (AK, F'K) = -1.
- Gọi F'' là giao điểm của AI và MN. Ta có: (AI, F''I) = -1.
- Do đó, ta có F' = F'' = F.
- Vậy AK vuông góc với FI.

Vậy ta đã chứng minh được các phần a, b, c.