a, Ta có AM + AN = 2AB = 2AM, suy ra AN = AM. Do tam giác ABC cân tại A nên BM = CM. Ta cũng có AM = AN, từ đó suy ra BM = CN.

b, Gọi I là trung điểm của MN. Ta có AI = AM/2 = AB, từ đó ta có tam giác AIB cân tại I. Do đó, ta có IB = IA = AB, suy ra tam giác IBC cũng cân tại I. Vậy BC đi qua trung điểm của MN.

c, Gọi O là giao điểm của đường trung trực của MN và tia phân giác của góc BAC. Ta cần chứng minh O, K, C thẳng hàng và KC vuông góc với AC.

Ta có MN song song với BC (do BC đi qua trung điểm của MN), từ đó ta có góc BAC bằng góc MNC. Do đó, ta có góc BAC bằng góc NKC (do NK song song với AC). Từ đó suy ra O, K, C thẳng hàng.

Vì O là trung điểm của MN và K là giao điểm của đường trung trực của MN và tia phân giác của góc BAC nên ta có OK vuông góc với MN. Do đó, KC vuông góc với AC.