Để chứng minh các phần trên, ta sẽ sử dụng các định lí cơ bản về tam giác cân và trung điểm.

a) Ta có AM = AM (cạnh chung), MB = MC (vì M là trung điểm BC), và góc AMB = góc AMC (vì tam giác ABC cân tại A). Do đó, theo định lí góc - cạnh - góc, ta có tam giác AMB = tam giác AMC.

b) Ta có MN // AB (vì MN song song với AB) và MN cắt AC tại N. Do đó, theo định lí song song và cắt, ta có NA/NC = MB/MC = 1/1 = 1. Vậy NA = NC.

c) Ta có MN // AB và MN cắt AB tại P (gọi P là giao điểm của MN và AB). Do đó, theo định lí đường chia đôi, ta có MN = MP. Nhưng ta cũng biết rằng MP = 1/2 AB (vì M là trung điểm BC). Vậy MN = 1/2 AB.

Vậy ta đã chứng minh được các phần a), b), c) đề bài yêu cầu.