Cho đường thẳng d : 2x - y +1 = 0 và A(-1;2), B(4;0)

a) Để tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d, ta sử dụng công thức:
\[d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]
Trong đó A = 2, B = -1, C = 1, x1 = -1, y1 = 2.
\[d = \frac{|2*(-1) + (-1)*2 + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2 - 2 + 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\]

Vậy khoảng cách từ A đến d là \(\frac{\sqrt{5}}{5}\).

b) Hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng B chính là điểm C trên đường thẳng B sao cho AC vuông góc với B. Để tìm C, ta cần tìm phương trình đường thẳng đi qua B và vuông góc với d.

Phương trình đường thẳng vuông góc với d có dạng:
\[y = 2x + c\]
Với c là hệ số cần tìm. Vì đường thẳng này vuông góc với d nên hệ số góc của nó là -1/2.

Ta có:
\[2*(-1) = -1/2\]
\[c = 0\]

Vậy phương trình đường thẳng vuông góc với d là y = 2x.

Để tìm C, ta giải hệ phương trình:
\[\begin{cases} y = 2x \\ y = 0 \end{cases}\]

Từ đó ta tìm được C(0;0).

c) Để tìm điểm C trên trục Oy sao cho trọng tâm tam giác ABC nằm trên d, ta cần tìm trọng tâm G của tam giác ABC. Trọng tâm G của tam giác ABC chính là trung điểm của các đỉnh A, B, C.

Trọng tâm G có tọa độ là:
\[G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)\]

Với A(-1;2), B(4;0) và C(0;0), ta có:
\[G\left(\frac{-1 + 4 + 0}{3}, \frac{2 + 0 + 0}{3}\right) = \left(\frac{3}{3}, \frac{2}{3}\right) = (1, \frac{2}{3})\]

Để trọng tâm G nằm trên đường thẳng d, ta cần xác định điểm C sao cho G nằm trên d. Thay tọa độ của G vào phương trình đường thẳng d:
\[2*1 - \frac{2}{3} + 1 = 0\]

Vậy C nằm trên trục Oy có tọa độ là C(0;0).

Để tính diện tích tam giác ABC, ta sử dụng công thức diện tích tam giác:
\[S_{ABC} = \frac{1}{2} * |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|\]

Thay các giá trị vào ta được:
\[S_{ABC} = \frac{1}{2} * |-1(0 - 0) + 4(0 - 2) + 0(2 - 0)| = \frac{1}{2} * |-8| = 4\]

Vậy diện tích tam giác ABC là 4.