Để giải bài toán này, ta cần vẽ hình như sau:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=above:$A$] (A) at (0,3);
\coordinate[label=below:$B$] (B) at (0,0);
\coordinate[label=below:$C$] (C) at (4,0);

\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;

\draw (A) -- (C);

\coordinate[label=below:$D$] (D) at (2,0);
\coordinate[label=below:$E$] (E) at (2,2);

\draw (D) -- (E);

\coordinate[label=below:$F$] (F) at (-1,1);
\draw (B) -- (F);
\draw (E) -- (F);

\coordinate[label=below:$H$] (H) at (3,1);
\draw (C) -- (H);
\draw (D) -- (H);

\coordinate[label=above:$K$] (K) at (2,3);
\draw (D) -- (K);

\coordinate[label=below:$I$] (I) at (3,0);
\draw (C) -- (I);

\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

a) Ta có $\angle ABD = \angle EBD$ vì $AD$ là phân giác của $\angle ABC$.

b) Ta có $\angle DFC = \angle BDE = \angle EBD = \angle ABD = \angle ADB = \angle CDF$, nên tam giác $DFC$ cân.

c) Ta có $\angle CDH = \angle CDF = \angle DFC = \angle BDE = \angle EBD = \angle ABD = \angle ADB = \angle CDK$, nên $CD$ vuông góc với $DH$ tại $H$.

Tiếp theo, ta có $CI = 2DI$, nên $CI = 2 \cdot IH$. Khi đó, ta có $\angle CIH = 90^\circ$, nên $IH$ vuông góc với $CF$.

Vì $DK = DF$ nên tam giác $DKF$ cũng cân tại $K$. Do đó, ta có $\angle KDF = \angle KFD$.

Vậy, ta có $K, I, H$ thẳng hàng. Điều phải chứng minh.