a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên ta có thể sử dụng định lý Pythagore để tính độ dài cạnh BC:
\[BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\, \text{cm}\]

b) Ta có:
\[\angle BAC = 90^\circ = \angle BHA\]
\[\angle ABC = \angle AHC\]
Vậy ta có:
\[\angle BAC = \angle BHA, \angle ABC = \angle AHC\]
Do đó, theo góc - cạnh - góc, ta chứng minh được tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA và tam giác ABC đồng dạng với tam giác HAC.

c) Ta có:
\[AH^2 = AB \times AC = 6 \times 8 = 48\, \text{cm}^2\]
\[HB \times HC = BC \times HC = 10 \times 8 = 80\, \text{cm}^2\]
Vậy ta chứng minh được rằng \(AH^2 = HB \times HC\). Từ đó suy ra:
\[AH = \sqrt{HB \times HC} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\, \text{cm}\]