Tam giác ABC cân ABM, CN là trung tuyếnG là giao điểm BM và CN

Để chứng minh AI vuông góc BC, ta sẽ sử dụng định lí về trung tuyến trong tam giác.

Vì BM là trung tuyến của tam giác ABC, ta có BM = 1/2 AC.
Tương tự, vì CN là trung tuyến của tam giác ABC, ta có CN = 1/2 AB.

Do đó, ta có ABM = ACN = ABC (do tam giác ABM = tam giác ACN).
Vậy ta có tam giác ABM cũng cân tại A.

Gọi H là trung điểm của BC, ta có AH song song với BM và AH = 1/2 BM.
Vậy ta có tam giác AHB cũng cân tại A.

Vì tam giác ABM cân tại A nên ta có góc ABM = góc AMB.
Vì tam giác AHB cân tại A nên ta có góc AHB = góc BAH.

Như vậy, ta có góc ABH = góc AMB = góc ABC.
Vậy ta có tam giác ABH đồng dạng với tam giác ABC.

Do đó, ta có góc BAI = góc BAH = góc ABC.
Vậy ta có AI vuông góc BC (do góc ABC là góc vuông).

Vậy ta đã chứng minh được rằng AI vuông góc BC.