Cho 2 đg tròn (O), (O'), cắt nhau tại A và B. Vẽ tiếp tuyến chung CD của 2 đg tròn (C thuộc (O), D thuộc (O') ), CD nằm gần điểm B hơn điểm A ( AB cắt CD tại M)

a, Ta có:
\(\widehat{MCA} = \widehat{MBC}\) (do CD là tiếp tuyến chung của (O) và (O'))
\(\widehat{MCA} = \widehat{MAB}\) (cùng chắn cung AB)
\(\widehat{MBC} = \widehat{MAB}\) (cùng chắn cung AB)
Vậy tam giác MCA và tam giác MBC đồng dạng, từ đó ta có:
\(\frac{MC}{MA} = \frac{MB}{MC}\)
\(MC^2 = MA \cdot MB\)

b, Ta có:
\(\widehat{MCA} = \widehat{MBC}\) (do CD là tiếp tuyến chung của (O) và (O'))
Vậy M là trung điểm của CD.

c, Ta có:
\(\widehat{EAD} = \widehat{ECB}\) (cùng chắn cung AD)
\(\widehat{EAB} = \widehat{ECB}\) (cùng chắn cung AB)
Vậy tam giác EAD và tam giác EAB đồng dạng, từ đó ta có:
\(\frac{EA}{EB} = \frac{ED}{EA}\)
\(EA^2 = EB \cdot ED\)
Tương tự, ta cũng chứng minh được tam giác FBD và tam giác FBA đồng dạng, từ đó ta có:
\(\frac{FA}{FB} = \frac{FD}{FA}\)
\(FA^2 = FB \cdot FD\)
Vậy ta có AEBF nội tiếp đường tròn.