Cho đường tròn tâm O đường kính AB. M là điểm thuộc đường tròn (M không trùng với A và B), Các tiếp tuyến tại A và M của đường tròn cắt nhau tại P

a) Ta có:
$\angle OMP = \angle OAP$ (cùng chắn cung AM)
$\angle OAM = \angle OMP$ (do AM là tiếp tuyến tại M)
$\angle OAM = \angle OAP$ (cùng chắn cung AM)
Vậy tứ giác AOMP là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có:
$\angle MPC = \angle APC$ (cùng chắn cung AC)
$\angle APC = \angle AOP$ (cùng chắn cung AM)
$\angle AOP = \angle MOP$ (tứ giác AOMP là tứ giác nội tiếp)
$\angle MPC = \angle MOP$
Vậy tam giác MPC đồng dạng tam giác MOP.
Từ đó, ta có $\frac{MP}{OP} = \frac{PC}{PM}$
Suy ra $MP \cdot PC = OP^2 = PB \cdot PC$

c) Ta có:
$\angle MDE = 90^{\circ}$ (MD vuông góc với AB)
$\angle MDE = \angle MPE$ (cùng chắn cung ME)
$\angle MPE = \angle MOP$ (tứ giác AOMP là tứ giác nội tiếp)
$\angle MOP = \angle MAH$ (cùng chắn cung AM)
$\angle MAH = \angle MHE$ (do HE // AB)
Vậy HE // AB.