Cho tam giác ABC vuông tại A (AB< AC). Trên cạnh BC lấy điểm K sao cho AB = BK. Kẻ phân giác BI (I thuộc AC), BI cắt AK tại H

Để chứng minh các phần trên, ta cần vẽ hình như sau:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=below left:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B$] (B) at (3,0);
\coordinate[label=above:$C$] (C) at (0,4);
\coordinate[label=below:$K$] (K) at (1.5,0);
\coordinate[label=above:$I$] (I) at (0,2);
\coordinate[label=above:$H$] (H) at (1,1);
\coordinate[label=above:$N$] (N) at (1.5,2);
\coordinate[label=above:$D$] (D) at (2.25,0);
\coordinate[label=above:$M$] (M) at (0,2.25);

\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (A) -- (K);
\draw (B) -- (I);
\draw (B) -- (H);
\draw (K) -- (H);
\draw (K) -- (N);
\draw (B) -- (D);
\draw (A) -- (M);

\draw (A) -- (N);

\draw (A) rectangle +(0.25,0.25);
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

a) Ta có AB = BK, BI là phân giác của góc ABC nên ta có góc ABI = góc IBC. Do đó, ta có góc ABH = góc IBC = góc ABI = góc AHB. Vậy ta có AABH = AKBH.

b) Ta có góc ANK = góc ABK (do NK song song với AC), góc ABK = góc AKB (vì AB = BK), góc AKB = góc HBI (vì AABH = AKBH), góc HBI = góc NBI (vì BH là phân giác của góc ABC). Vậy ta có góc ANK = góc NBI, tức là NI là phân giác của góc ANK.

c) Ta có góc AMB = góc ABC = góc ACB = góc ANM, do đó ba điểm A, N, M thẳng hàng.

Vậy ta đã chứng minh được các phần a, b, c.