Để chứng minh các điều cần chứng minh, ta sẽ sử dụng các định lí trong hình học và tính chất của tam giác vuông và tam giác đều.

a) Ta có tam giác ABC vuông tại C với ∠A = 60°, suy ra ∠B = 30°.
Kẻ tia phân giác của ∠BAC, gọi là AM, cắt BC tại E.
Vì tam giác ABC vuông tại C nên ta có: AC = AB.sin∠B = AB.sin30° = AB/2.
Vậy ta có AC = AB/2.
Trong tam giác ABE vuông tại E, ta có: AE = AB.sin∠BAE = AB.sin(∠BAC/2) = AB.sin30° = AB/2.
Do đó, ta có AC = AE, suy ra AC = AK.

b) Ta có AK = AC.
Trong tam giác AKH vuông tại K, ta có: AK = AH.sin∠HAK = AH.sin∠BAE = AH.sin30°.
Trong tam giác ABE vuông tại E, ta có: AE = AB.sin∠BAE = AB.sin30°.
Vậy ta có AK = AH.

c) Ta có AK = AH.
Trong tam giác AKH vuông tại K, ta có: AK = AH.sin∠HAK = AH.sin∠BAE = AH.sin30°.
Trong tam giác ABE vuông tại E, ta có: AE = AB.sin∠BAE = AB.sin30°.
Vậy ta có AK = AE.
Do đó, ta có KA = KB.

Như vậy, ta đã chứng minh được các điều cần chứng minh.