Cho tam giác ABC có A(1; 3) và B(-1; 2) và C(4; -5)

a. Đường cao xuất phát từ đỉnh A sẽ vuông góc với đoạn thẳng BC và đi qua điểm A. Gọi H là hình chiếu của A lên BC, ta có:
- Phương trình đường thẳng BC: y = mx + n, với m = (yB-yC)/(xB-xC) = (2+5)/(-1-4) = -7/5, n là hệ số tự do của đường thẳng BC.
- Phương trình đường thẳng AH: y = kx + 4, với k là hệ số góc của đường cao AH.
Vì AH vuông góc với BC nên k = 5/7 (do tích vô hướng của vector pháp tuyến của BC và AH bằng 0).
Do đó, phương trình tham số của đường cao AH là y = (5/7)x + 4.

b. Để tìm phương trình của đường thẳng d vuông góc với A: 3x - 4y + 1 = 0 và cách A một khoảng 3 đơn vị, ta có:
- Phương trình của đường thẳng d chính là phương trình đường thẳng vuông góc với A và đi qua điểm A.
- Hệ số góc của d là -4/3 (được tính bằng cách đổi dấu và đổi vị trí của hệ số góc của A).
- Phương trình của d có dạng y = -4/3x + c.
- Khoảng cách từ A đến d là |3c + 1| / sqrt(3^2 + 4^2) = 3.
- Từ đó, ta có c = -4.
Vậy phương trình của đường thẳng d là y = -4/3x - 4.