Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Gọi M là một điểm trên cạnh AC sao cho AM =1/2MC. Gọi O là giao điểm của BM và AD. Chứng minh rằng: O là trung điểm của AD b, OM =1/4BM

Ta có AM = 1/2MC và O là giao điểm của BM và AD, suy ra O là trung điểm của AD (do đường trung tuyến chia một cạnh của tam giác thành hai phần bằng nhau).

Gọi N là giao điểm của BM và AC. Ta có AM = 1/2MC và O là trung điểm của AD, suy ra MN // BD và MN = 1/2BD.

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC với đường chéo BD, ta có:
$\dfrac{AM}{MC} \cdot \dfrac{CN}{NB} \cdot \dfrac{BO}{OA} = 1$
$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{CN}{NB} \cdot 2 = 1$
$\dfrac{CN}{NB} = 2$

Do đó, ta có $\dfrac{CN}{NB} = 2$ và MN // BD, suy ra MN = 1/2BD.

Vậy ta có OM = ON - MN = 1/2BM - 1/2BD = 1/2BM - 1/2 \cdot 2OM = 1/2BM - OM.

Suy ra, OM = 1/4BM. Định lí đã được chứng minh.