Để phân số \( \frac{3n+2}{7n+1} \) được rút gọn, ta cần tìm ước chung lớn nhất của hai số 3n+2 và 7n+1.

Ta có:
\( 3n+2 = 3(n) + 2 \)
\( 7n+1 = 7(n) + 1 \)

Để tìm ước chung lớn nhất của hai số này, ta sử dụng thuật toán Euclid như sau:

\( 7(n) + 1 = 2(3(n) + 2) + 1 \)
\( 3(n) + 2 = 3(7(n) + 1) - 5 \)

Tiếp tục thay thế cho \( 3(n) + 2 \) và \( 7(n) + 1 \) ta được:
\( 7(n) + 1 = 2(3(7(n) + 1) - 5) + 1 \)
\( 7(n) + 1 = 2(21(n) + 3) - 9 + 1 \)
\( 7(n) + 1 = 42(n) + 6 - 8 \)
\( 7(n) + 1 = 42(n) - 2 \)

Vậy ước chung lớn nhất của hai số 3n+2 và 7n+1 là 2.

Để phân số được rút gọn, ta cần tìm các số tự nhiên n trong khoảng từ 100 đến 150 sao cho 2 là ước chung lớn nhất của 3n+2 và 7n+1.

Ta thử từng số trong khoảng từ 100 đến 150:
- Với n = 100: 3(100) + 2 = 302, 7(100) + 1 = 701. 2 không phải là ước chung lớn nhất.
- Với n = 101: 3(101) + 2 = 305, 7(101) + 1 = 708. 2 không phải là ước chung lớn nhất.
- ...
- Với n = 105: 3(105) + 2 = 317, 7(105) + 1 = 736. 2 là ước chung lớn nhất.

Vậy số tự nhiên n cần tìm là 105.