a) Ta có x² < 2023!.
Để tìm tổng của tất cả các số nguyên x thỏa mãn điều kiện trên, ta cần tìm căn bậc hai của 2023! và lấy phần nguyên của nó.
Sử dụng máy tính, ta tính được căn bậc hai của 2023! là khoảng 2.522.760,7.
Vậy tổng của tất cả các số nguyên x thỏa mãn điều kiện a) là 2.522.760.

b) Ta có 2003! < x² < 2023!.
Để tìm tổng của tất cả các số nguyên x thỏa mãn điều kiện trên, ta cần tìm các số nguyên x từ căn bậc hai của 2003! đến căn bậc hai của 2023! và tính tổng của chúng.
Sử dụng máy tính, ta tính được căn bậc hai của 2003! là khoảng 2.519.842,6 và căn bậc hai của 2023! là khoảng 2.522.760,7.
Tổng của tất cả các số nguyên x thỏa mãn điều kiện b) là tổng các số nguyên từ 2.519.843 đến 2.522.760, tức là 2.519.843 + 2.519.844 + ... + 2.522.760.
Sử dụng công thức tổng của dãy số học hình học, ta có:
Tổng = (số phần tử đầu + số phần tử cuối) * số phần tử / 2
Tổng = (2.519.843 + 2.522.760) * (2.522.760 - 2.519.843 + 1) / 2
Tổng = 5.042.603 * 2.918 / 2
Tổng = 14.713.223

Vậy tổng của tất cả các số nguyên x thỏa mãn điều kiện b) là 14.713.223.