Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta sẽ chứng minh rằng:

1/41 + 1/42 + 1/43 + ... + 1/80 > 7/12

Chúng ta có thể viết lại bất đẳng thức trên dưới dạng tổng:

1/41 + 1/42 + 1/43 + ... + 1/80 = 1/41 + 1/42 + 1/43 + ... + 1/79 + 1/80

Chúng ta sẽ chứng minh rằng:

1/41 + 1/42 + 1/43 + ... + 1/79 + 1/80 > 7/12

Để chứng minh điều này, ta sẽ chứng minh rằng:

1/41 + 1/42 + 1/43 + ... + 1/79 > 7/12 - 1/80

Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta sẽ chứng minh rằng:

1/41 + 1/42 + 1/43 + ... + 1/79 > 7/12 - 1/80

Chúng ta có thể viết lại bất đẳng thức trên dưới dạng tổng:

1/41 + 1/42 + 1/43 + ... + 1/79 = 1/41 + 1/42 + 1/43 + ... + 1/78 + 1/79

Chúng ta sẽ chứng minh rằng:

1/41 + 1/42 + 1/43 + ... + 1/78 + 1/79 > 7/12 - 1/80

Để chứng minh điều này, ta sẽ chứng minh rằng:

1/41 + 1/42 + 1/43 + ... + 1/78 > 7/12 - 1/79

Tương tự, ta tiếp tục chứng minh cho các phần tử còn lại trong tổng.

Sau khi chứng minh cho tất cả các phần tử từ 1/41 đến 1/78, ta sẽ có:

1/41 + 1/42 + 1/43 + ... + 1/78 > 7/12 - 1/79

Và từ đó, ta có thể chứng minh được bất đẳng thức ban đầu.