Để phương trình \(x^2 + kx + k - 2 = 0\) luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(k\), ta cần xét điều kiện để phương trình trên có nghiệm.

Theo định lý về điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:

- Để phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) có nghiệm thì \(\Delta = b^2 - 4ac \geq 0\).

Áp dụng vào phương trình đã cho, ta có:

\(\Delta = k^2 - 4(k-2) = k^2 - 4k + 8\).

Để \(\Delta \geq 0\) với mọi giá trị của \(k\), ta cần giải bất phương trình:

\(k^2 - 4k + 8 \geq 0\).

Để giải bất phương trình trên, ta cần tìm các giá trị của \(k\) sao cho đồ thị hàm số \(y = k^2 - 4k + 8\) nằm trên hoặc trên trục hoành.

Đồ thị của hàm số trên là một parabol mở lên với đỉnh là điểm \((2,4)\). Vì vậy, ta có:

\(k^2 - 4k + 8 \geq 0\) khi và chỉ khi \(k \in (-\infty, +\infty)\).

Vậy điều kiện để phương trình \(x^2 + kx + k - 2 = 0\) luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(k\) là \(k \in (-\infty, +\infty)\).