Giải:

a) Ta có: $\angle ABE = 90^\circ$ (do $BE$ là đường cao trong tam giác $ABC$)

Vậy $A,E,H,K$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $AH$.

Ta có $AH$ là đường kính của đường tròn nên tâm của đường tròn là trung điểm của $AH$, kí hiệu là $I$.

b) Ta có $\angle AKM = 90^\circ$ (do $KM$ vuông góc với $AD$)

Vậy tam giác $AKM$ vuông tại $K$.

Do đó, tam giác $AKM$ đồng dạng với tam giác $ABD$ (cùng có một góc vuông và góc tương đồng).

Ta có $SM \cdot SN = SB \cdot SC$ (do $S,M,N,B,C$ cùng thuộc một đường tròn).

c) Ta có $SI$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $I$ (do $SI$ vuông góc với $AH$ qua tâm $O$).

Vậy $SI$ vuông góc $OI$ tại $I$.

Vậy điều cần chứng minh.