Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A( 1;1) B (0;-2) C(4;2)

a. Để viết phương trình tổng quát của đường cao AH, ta cần tìm phương trình của đường thẳng AH và sau đó viết phương trình tổng quát của nó.

Đường cao AH sẽ vuông góc với đoạn thẳng BC và đi qua điểm A. Ta cần tìm vector pháp tuyến của đường cao AH bằng cách tính vector pháp tuyến của BC, sau đó tìm phương trình của đường thẳng qua A và có vector pháp tuyến đã tìm được.

Vector pháp tuyến của BC là $\vec{n_{BC}} = \vec{B} - \vec{C} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \end{pmatrix} = -4\vec{i} - 4\vec{j}$.

Do đó, phương trình đường thẳng AH sẽ có dạng $-4x - 4y + c = 0$, với c là hằng số cần tìm.

Để tìm hằng số c, ta thay vào phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;1): $-4(1) - 4(1) + c = 0 \Rightarrow -8 + c = 0 \Rightarrow c = 8$.

Vậy phương trình tổng quát của đường cao AH là $-4x - 4y + 8 = 0$.

b. Để viết phương trình tổng quát của trung tuyến CM, ta cần tìm trung điểm M của đoạn thẳng BC, sau đó viết phương trình của đường thẳng qua M và song song với BC.

Trung điểm M của đoạn thẳng BC có tọa độ là $M\left(\frac{0+4}{2}; \frac{-2+2}{2}\right) = M(2;0)$.

Vì trung tuyến CM song song với BC nên vector pháp tuyến của trung tuyến sẽ giống với vector pháp tuyến của BC, tức là $\vec{n_{CM}} = -4\vec{i} - 4\vec{j}$.

Phương trình đường thẳng qua M có dạng $-4x - 4y + d = 0$, với d là hằng số cần tìm.

Để tìm hằng số d, ta thay vào phương trình đường thẳng đi qua M(2;0): $-4(2) - 4(0) + d = 0 \Rightarrow -8 + d = 0 \Rightarrow d = 8$.

Vậy phương trình tổng quát của trung tuyến CM là $-4x - 4y + 8 = 0$.