Cho tam giác ABC có góc A bằng 90 độ đường cao AH tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D

Để chứng minh tam giác $HBA$ đồng dạng với tam giác $ABC$, ta cần chứng minh $\frac{HB}{AB} = \frac{AB}{BC}$.

Ta có:
$\angle BAC = 90^\circ$ (do góc $A$ bằng $90^\circ$)
$\angle BAC = \angle BAH$ (do $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$)
$\angle ABC = \angle HBA$ (do $AD$ là tia phân giác của góc $BAC$)

Vậy ta có $\triangle HBA \sim \triangle ABC$ (theo góc - góc - góc)

Từ đó, ta có $\frac{HB}{AB} = \frac{AB}{BC}$ hoặc $HB \cdot BC = AB^2$

Với $AB = 12$ cm và $AC = 16$ cm, ta có $AB^2 = 144$.

Do đó, ta có $HB \cdot BC = 144$.

Tiếp theo, ta cần tìm $BC$ và $AH$.

Ta có $AB^2 = BC \cdot HB = 144$ và $AC^2 = AH \cdot HC = 16^2 = 256$.

Từ đó, ta có $BC = \frac{144}{HB}$ và $AH = \frac{256}{HC}$.

Để chứng minh phần c, ta cần chứng minh $\frac{EK}{AK} = \frac{AK}{AB}$.

Ta có $\angle ABC = \angle EHC$ (do $HC$ là tia phân giác của góc $BAC$) và $\angle BAC = \angle EKH$ (do $EK$ là tia phân giác của góc $BAH$).

Vậy ta có $\triangle EKH \sim \triangle ABC$ (theo góc - góc - góc).

Từ đó, ta có $\frac{EK}{AK} = \frac{AK}{AB}$ hoặc $EK \cdot AB = AK^2$.

Với $AB = 12$ cm, ta cần tìm $EK$ và $AK$ để chứng minh điều cần chứng minh.